Фундаментальная группа

Не следует путать с фундаментальной группой в дифференциальной геометрии.

Фундамента́льная гру́ппа — одна из простейших конструкций в алгебраической топологии. Сопоставляется группа всякому связному топологическому пространству. Для подмножеств плоскости эта группа измеряет количество «дырок». Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать (стянуть) некоторую замкнутую кривую в точку.

Фундаментальная группа пространства $X$ с отмеченной точкой $x_0$ обычно обозначается ${\pi }_1(X,x_0)$ или ${\pi }_1(X)$, последнее обозначение применимо для связных пространств. Тривиальность фундаментальной группы обычно записывается как ${\pi }_1(X)=0$, хотя обозначение ${\pi }_1(X)=\{1\}$ более уместно.

Определение

Пусть $X$ — топологическое пространство с отмеченной точкой $x_0\in X$. Рассмотрим множество петель в $X$ из $x_0$; то есть множество непрерывных отображений $f:[0,1]\to X$, таких что $f(0)=x_0=f(1)$. Две петли $f$ и $g$ считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия $f_t$, удовлетворяющая свойству $f_t(0)=x_0=f_t(1)$. Соответствующие классы эквивалентности (обозначаются $[f]$) называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

$(f*g)(t)=\{\begin{array}{l}f(2t),t\in [0,\frac{1}{2}]\\ g(2t-1),t\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

Произведением двух гомотопических классов $[f]$ и $[g]$ называется гомотопический класс $[f*g]$ произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства $X$ с отмеченной точкой $x_0$ и обозначается ${\pi }_1(X,x_0)$.

Комментарии

• Про $(X,x_0)$ можно думать как о паре пространств $(X,\{x_0\})$.
• Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
• Если $$