Теорема Штейнера (планиметрия)

Файл:Теорема Штейнера (планіметрія).svg

$\frac{BM}{CM}\cdot \frac{BN}{CN}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2.$

Теорема Штейнера — классическая теорема геометрии треугольника, обобщение теоремы о биссектрисе. Названа в честь Якоба Штейнера.

Формулировка

Пусть через вершину $A$ треугольника $\mathrm{△}ABC$ внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами $AB$ и $AC$ и пересекающие сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Тогда

$\frac{BM}{CM}\cdot \frac{BN}{CN}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2$.

Верно и обратное утверждение: если выполняется равенство $\frac{BM}{CM}\cdot \frac{BN}{CN}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2$, то $\mathrm{\angle }BAM=\mathrm{\angle }CAN$.

Важный частный случай теоремы

Из теоремы Штейнера, как частный случай, получается теорема о биссектрисе. Действительно, пусть в сформулированной выше теореме точки M и N совпадают, образуя точку D, тогда они являются основанием биссектрисы, опущенной из вершины A на сторону BC. В этом частном случае мы имеем $\frac{BD}{CD}\cdot \frac{BD}{CD}={\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$, что и составляет суть теоремы о биссектрисе.