Спектральная теорема

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения — то есть операторами вида $\varphi \mapsto f\varphi$ для фиксированной функции $f$. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных $C^{*}$-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Для любой эрмитовой матрицы $A$ на конечномерном векторном пространстве $V$ верно:

1. Все собственные значения матрицы $A$ вещественны;
2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства $V$.