Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра, си́гма-а́лгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство $\mathfrak{𝔖}$ подмножеств множества $X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. $\mathfrak{𝔖}$ содержит множество $X$.
2. Если $E\in \mathfrak{𝔖}$, то и его дополнение $X\mathrm{\setminus }E\in \mathfrak{𝔖}$.
3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из $\mathfrak{𝔖}$ принадлежит $\mathfrak{𝔖}$

Пояснения

• Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество $\varnothing$.
• Поскольку

  $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=X\mathrm{\setminus }(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(X\mathrm{\setminus }{A}_n)),$

в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало $\mathfrak{𝔖}$.

• Вместо пункта 1 достаточно требовать, чтобы семейство $\mathfrak{𝔖}$ не было пустым, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из $\mathfrak{𝔖}$ принадлежит $\mathfrak{𝔖}$ (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем $\mathrm{\varnothing }=E\cap (X\mathrm{\setminus }E)\in \mathfrak{𝔖}$ и $X=X\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }\in \mathfrak{𝔖}$.
• Для любой системы множеств ${𝒮}$ существует наименьшая сигма-алгебра $\sigma ({𝒮})$, являющаяся её надмножеством.
• Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ${𝒮}$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma ({𝒮})$, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
• σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi :X\to \mathbb{ℝ}$, определяется следующим образом:

$\sigma (\xi )=\{{\xi }^{-1}(B)\mid B\in {ℬ}(\mathbb{ℝ})\}$,

где ${ℬ}(\mathbb{ℝ})$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве